マコーレー・デュレーションと債券価格近似式

債券価格の近似式としては、「修正デュレーション」を使う式が有名だが、「マコーレー・デュレーション」を直接使う式もあるようだ。先日初めて知ったのだが、素朴な方法で関心したので、内容を書き留めておこうと思う。

マコーレー・デュレーション
修正デュレーション
修正デュレーションと債券価格近似式
マコーレー・デュレーションと債券価格近似式
上式の導出
計算例
- 10年満期、償還金100円、年1回クーポン10円の利付き債
- 10年満期、償還金100円、割引債

マコーレー・デュレーション

デュレーション（Duration、期間）という名前のとおり、債券（やキャッシュフロー系商品）の平均残存期間を表す指標。金利リスク管理（金利変化による価格変化の管理）に役立つとされている。1938年にマコーレーにより提唱された。

$D_{mac}= \dfrac { \displaystyle \sum_{t} \dfrac{t\times C_t}{(1+i)^t}} { \displaystyle \sum_{t}\dfrac{C_t}{(1+i)^t}}$

ここで、 $t$ は各期（基本的には年）、 $C_t$ は各期のキャッシュフロー（債券であればクーポンや償還額）、 $i$ は金利（利回り）。

分母は債券価格そのもの。各期のキャッシュフローの残存期間 $t$ を、各期のキャッシュフローの現在価値 ${C_t}/{(1+i)^t}$ で加重平均したものとなっている。

修正デュレーション

修正デュレーション（Modified Duration）とは、マコーレー・デュレーションを $(1+i)$ で除したものである。すなわち、

$D_{mod}= \dfrac{D_{mac}}{1+i} =\dfrac { \displaystyle \sum_{t}\dfrac{t\times C_t}{(1+i)^{t+1}}} { \displaystyle \sum_{t}\dfrac{C_t}{(1+i)^t}}$

また、分母の債券価格を $P(i):= \sum_{t} {C_t} / {(1+i)^t}$ と書くと、分子は $-P^{'}(i)$ となるので、修正デュレーションは、次のようにも書くことができる。

$D_{mod}= -\dfrac{P^{'}(i)}{P(i)}$

なお、上式の右辺は負の符号がついているが、（マコーレー・デュレーションもそうだが）修正デュレーションはキャッシュフローの平均残存期間なのでプラスの値である。つまり、 ${P^{'}(i)}$ の値はマイナスである。（金利が上昇すると債券価格は下落する理由）

修正デュレーションと債券価格近似式

さて、債券価格 $P(i)$ を、ある金利 $i_{0}$ の周りでテイラー展開すると、

$P(i) \approx P(i_{0})+P^{'}(i_{0}) \cdot (i-i_{0})$

となるので、右辺を $P(i_{0})$ でくくって、 $D_{mod}(i_{0})= -{P^{'}(i_{0})} / {P(i_{0})}$ に留意すれば、

$P(i) \approx P(i_{0}) \left(1-D_{mod}(i_{0}) \cdot (i-i_{0}) \right)$

として、修正デュレーションを使った近似式が得られる。（これが、先に修正デュレーションを定義した理由である。）

この式より、 $i_{0}$ を今の金利とすれば、金利が $i_{0}$ から $i$ になった場合の債券価格の変化額（ $P(i_{0})$ 対比だと変化率）は、修正デュレーション×金利変化幅で近似できることが分かる。

例えば、金利が上昇する場合、金利変化幅はプラスであり、また、修正デュレーションはプラスの値であるから、債券価格は、修正デュレーション×金利変化幅だけ下落する。

つまり、この近似式の意味を評語的に言えば、「金利が変化した際の価格計算めんどいから、"単利"とみなして計算したったわ」ということになるだろう。

なお、近似の精度を上げたい場合には、テイラー展開で二次の項まで残すことで、コンベクシティの概念が出てくるが、ここでは省略。

マコーレー・デュレーションと債券価格近似式

ここからが本題。先に見た例では、債券価格の近似計算に、マコーレー・デュレーションではなく、修正デュレーションが使用された。

ただ、マコーレー・デュレーションは、キャッシュフローの平均残存期間の計算方法として、（少なくとも修正デュレーションより）分かりやすい。また特に、割引債（ゼロクーポン債）のデュレーションについては、マコーレー・デュレーションの場合、償還年限そのものになるので、明らかに理解しやすい。

では、債券価格近似式にマコーレー・デュレーションを直接使う方法はないのだろうか…。と思うと、実はそれがあって、近似式としては以下のようになるようだ。

$P(i) \approx P(i_{0}) \left( \dfrac{1+i_{0}}{1+i} \right)^{D_{mac}(i_{0})}$

ただ、分かりそうで分からない式。こう書けば少し分かりやすくなるだろうか。

$\dfrac{P(i)}{P(i_{0})} \approx \dfrac {{1} / {(1+i)^{D_{mac}(i_{0})}}} {{1}/{(1+i_{0})^{D_{mac}(i_{0})}}}$

つまり、 $P(i) \approx {K} / {(1+i)^{D_{mac}(i_{0})}}$ 、 $P(i_{0}) \approx {K} / {(1+i_{0})^{D_{mac}(i_{0})}}$ ということで、債券価格自体を単一の割引債で近似しており、その残存期間にマコーレー・デュレーションが現れる。（なお、この $K$ はその割引債の償還額に相当するものだが、 ${P(i)}/{P(i_{0})}$ の計算の際にキャンセルされるので特に重要ではない。）

そのため、この近似式の意味を評語的に言えば、「金利が変化した際の価格計算めんどいから、"割引債"とみなして計算したったわ」ということになるだろう。

では、なぜこのような式が成り立つのか。以下で計算を追ってみる。

上式の導出

まずはやはり、債券価格 $P(i)$ を、 $P(i) \approx {K} / {(1+i)^{T}}$ という形で書けないか（ここで、 $T$ と $K$ は定数）。もし書けるとしたら、この $T$ は何になるか。これがモチベーションとなる。

さて、この式を変形すると、 $P(i) \cdot (1+i)^{T} \approx K$ となる。そのため、 $P(i) \cdot (1+i)^{T}$ が定数（すなわち $i$ に依らない数）となる $T$ を求める。

これを求めるには、 $A(i):=P(i) \cdot (1+i)^{T}$ と置き、 ${dA(i)} / {di}=0$ となる $T$ を計算すればよい。よって、

$P^{'}(i) \cdot (1+i)^{T}+T \cdot P(i) \cdot (1+i)^{T-1} =0$

より、

$T = - \dfrac {P^{'}(i)} {P(i)} \cdot (1+i) \\ 　=D_{mod}(i) \cdot (1+i)=D_{mac}(i)$

を得る。なるほど、この $T$ はマコーレー・デュレーションであった。

続いて、 $A(i)$ をある金利 $i_{0}$ の周りでテイラー展開すると、

$A(i) \approx A(i_{0})+A^{'}(i_{0}) \cdot (i-i_{0})$

となるが、 $A^{'}(i_{0})=0$ なので、結局、 $A(i) \approx A(i_{0})$ となる。ここで、 $T$ は定数としていたこと（つまり、 $A(i)=P(i) \cdot (1+i)^{D_{mac}{(i_{0}})}$ としていたこと）に留意すれば、

$P(i) \cdot (1+i)^{D_{mac}{(i_{0})}} \approx P(i_{0}) \cdot (1+i_{0})^{D_{mac}{(i_{0})}}$

となる。これにて、上記の債券価格の近似式が導出された。

計算例

10年満期、償還金100円、年1回クーポン10円の利付き債

金利が $10$ %の場合、価格は $100$ 円となる。また、金利が $11$ %になった場合の価格は厳密計算で $94.11$ 円となる。

さて、マコーレー・デュレーションは、 ${ \left( \frac{1 \times 10}{1.1}+ \frac{2 \times 10}{1.1^2}+\cdots + \frac{10 \times 110}{1.1^{10}} \right) } / {100}=6.759$ であり、修正デュレーションは、 $6.579/1.1=6.145$ である。