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移流方程式の解析解の計算(2) 特性曲線法

物理数学

前回は移流方程式の解析解を変数変換法で求めたが、その際、 $x$ 、 $t$ を $\alpha$ 、 $\beta$ に変数変換したものの、解として出てきたのは $\alpha(=x-ct)$ のみであった。そうであれば、最初から $\alpha$ だけ使っても解けるのではないかという気がしてくる。この方法は特性曲線法として知られる。

考える問題（前回の再掲）
特性曲線法による解析解

考える問題（前回の再掲）

移流方程式とは、次の形の線形偏微分方程式であった。

$\dfrac{\partial u}{\partial t} + c\dfrac{\partial u}{\partial x} =0$

前回は、変数変換法により、この方程式の一般解を求めたうえで、初期条件 $(1.0+\cos \pi x)$ および周期境界条件 $u(0,t)=u(2,t)$ を満たす解（特殊解）を求めたが、今回は特性曲線法により一般解を求める。

特性曲線法による解析解

もしも、 $x$ 、 $t$ が1つの独立変数 $\alpha$ の関数であるとすると（実際そうなのだが）、

$\dfrac{d u}{d \alpha} = \dfrac{\partial u}{\partial x} \dfrac{d x}{d \alpha}+\dfrac{\partial u}{\partial t} \dfrac{d t}{d \alpha}$

一方、

$\dfrac{\partial u}{\partial t} + c\dfrac{\partial u}{\partial x} =0$

であることから、

$\dfrac{d x}{d \alpha}=c, \dfrac{d t}{d \alpha}=1, \dfrac{d u}{d \alpha}=0$

が成り立ち、連立常微分方程式に帰着する。

つまり、偏微分方程式が常微分方程式となる曲線（特性曲線）が見つかれば、それに沿って常微分方程式を解くことにより、元の偏微分方程式を解くことができる。なお、この連立常微分方程式は、元の偏微分方程式の特性方程式と呼ばれる。

では、この連立常微分方程式を解いてみよう。まず、 ${d x}/{d \alpha}=c$ より、

$x=c \alpha + x_{0}$

となる。ここで、 $x(0)=x_{0}$ と書いた。続いて、 ${d t}/{d \alpha}=1$ より、 $t(0)=0$ としても一般性を失わない*1から、

$t=\alpha$

が得られる。そのため、

$x_{0}=x - c \alpha = x - c t$

となる。続いて、 ${d u}/{d \alpha}=0$ より、 $u$ は特性曲線に沿って定数であり、すなわち、初期値と同じなので、

$u(x, t)=u(x_{0}, 0)$

が成り立つ。ここで、任意の関数 $f$ を用いて $u(x_{0}, 0)=f(x_{0})$ と書き、さらに、 $x_{0}= x - c t$ を代入すれば、

$u(x, t)=f(x-ct)$

となって、求める一般解が得られる*2。素晴らしい。

*

間違い等ありましたらお手数ですがコメント等いただけますと幸甚です。

*1:仮に、 $t(0)=t_{0}$ とすると、 $u(x, t)=u(x_{0}, t_{0})=u(x-c(t-t_{0}), t_{0})$ となるが、 $t-t_{0}=T$ とすれば、 $u(x, T)=u(x-cT, 0)=f(x-cT)$ となって同じ解が得られる。

*2:特性曲線法は、一階偏微分方程式における「ラグランジュの偏微分方程式」とか「シャルピーの方法」として知られている方法と本質的に同じであり、一階偏微分方程式の解法として非常に有効な方法である。