固定受け・変動払いの金利スワップの評価損益が債券の評価損益と同じになることについて

家にある本を開いたら、4年くらい前に書いた標記の件の手書きメモが出てきた。別にメモを取っておく必要はないので、捨ててしまってよいのだが、折角なのでメモを捨てる前にここに転記しようと思う。

金利スワップとは
- 変動金利部分の現在価値の計算
- 固定金利水準の計算
債券の評価損益
固定受け・変動払いの金利スワップの評価損益

金利 スワップとは

金利スワップとは、同一通貨の金利を交換する取引。元本の交換は行われない。交換する金利は、固定金利と変動金利である。これらが約定時点で等価になるように、もう少し厳密にいえば、固定金利のキャッシュフローの現在価値と変動金利のキャッシュフローの現在価値が約定時点で等しくなるように、固定金利の水準が決められる。

なお、変動金利は、その名の通り毎期変動するので、将来いかなる水準になるかは約定時点では分からないが、約定時点で行う固定金利水準の計算においては、将来の変動金利は、現時点で取引されている将来金利（フォワードレート）どおりに推移するものとして計算される。

つまり、例えば、スワップ期間10年、年1回交換、固定金利 $C$ 、各期のイールドを $r_{i}$ 、各期の1年フォワードレートを $f_{i}$ とすると、以下の関係が成り立つように $C$ が決められる。

$\dfrac{C}{1+r_{1}} + \dfrac{C}{(1+r_{2})^{2}} + \cdots +\dfrac{C}{(1+r_{10})^{10}} \\ =\dfrac{f_{1}}{1+r_{1}} + \dfrac{f_{2}}{(1+r_{2})^{2}} + \cdots +\dfrac{f_{10}}{(1+r_{10})^{10}}$

変動金利部分の現在価値の計算

さて、上式の右辺、変動金利部分の現在価値の式を整理しよう。まず、 $r_{1}=f_{1}$ であり、また、イールドとフォワードレートの関係性から、各期のフォワードレートは、

$(1+r_{1})(1+f_{2})=(1+r_{2})^2$ より、 $f_{2}={(1+r_{2})^2}/{(1+r_{1})}-1$

$(1+r_{2})^2(1+f_{3})=(1+r_{3})^3$ より、 $f_{3}={(1+r_{3})^3}/{(1+r_{2})^2}-1$

$\cdots$

$(1+r_{9})^9(1+f_{10})=(1+r_{10})^{10}$ より、 $f_{10}={(1+r_{10})^{10}}/{(1+r_{9})^9}-1$

であるから、これらを代入すると、

$\dfrac{f_{1}}{1+r_{1}} + \dfrac{f_{2}}{(1+r_{2})^{2}} + \dfrac{f_{3}}{(1+r_{3})^{3}}+ \cdots +\dfrac{f_{10}}{(1+r_{10})^{10}} \\ =\dfrac{r_{1}}{1+r_{1}} + \left(\dfrac{1}{1+r_{1}}-\dfrac{1}{(1+r_{2})^2} \right)+\left(\dfrac{1}{(1+r_{2})^2}-\dfrac{1}{(1+r_{3})^3} \right) \\+ \cdots + \left(\dfrac{1}{(1+r_{9})^9}-\dfrac{1}{(1+r_{10})^{10}} \right) \\ = 1 - \dfrac{1}{(1+r_{10})^{10}}$